Logistische Funktion/e^x durch 1+e^x/Ableitungen/Monotonie/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}f'(x)={\frac {e^{x}(1+e^{x})-e^{x}e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\,.$

2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&={\left({\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\right)}'\\&={\frac {e^{x}(1+e^{x})^{2}-2e^{x}(1+e^{x})e^{x}}{(1+e^{x})^{4}}}\\&={\frac {e^{x}(1+e^{x})-2e^{x}e^{x}}{(1+e^{x})^{3}}}\\&={\frac {e^{x}-e^{2x}}{(1+e^{x})^{3}}}.\end{aligned}}$

3. Die erste Ableitung ist stets positiv, daher ist die Funktion streng monoton wachsend.
4. Als streng wachsende Funktion ist die Funktion auch injektiv.

Zur gelösten Aufgabe