Lokal beringte Räume/Morphismus/Invertierbarkeitsort/Fakt/Beweis

Beweis

Das Element $f$ ist in $\Gamma (Y_f,{𝒪}_Y)$ eine Einheit und der Ringhomomorphismus

$\Gamma (Y_f,{𝒪}_Y)⟶\Gamma ({\phi }^{-1}\left(Y_f\right),{𝒪}_X)$

zeigt, dass ${\phi }^{\ast }f$ in $\Gamma ({\phi }^{-1}\left(Y_f\right),{𝒪}_X)$ eine Einheit ist, was  ${\phi }^{-1}\left(Y_f\right)\subseteq X_{{\phi }^{\ast }f}$  bedeutet. Für einen Punkt

$P\in X_{{\phi }^{\ast }f}$

ist ${\phi }^{\ast }f$ eine Einheit im lokalen Ring ${𝒪}_{X,P}$. Wegen der Lokalität des Ringhomomorphismus

${𝒪}_{Y,\phi (P)}⟶{𝒪}_{X,P}$

muss auch  $f\in {𝒪}_{Y,\phi (P)}$  eine Einheit sein, was  $\phi (P)\in Y_f$  und damit

$P\in {\phi }^{-1}\left(Y_f\right)$

bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage