Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeit/Offen/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist ${}f(P)=0$ im Restekörper genau dann, wenn ${}f\in {\mathfrak {m}}_{P}$ im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{P}$ gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{P}$ nicht invertierbar ist. Sei ${}P\in X_{f}$. Dann ist ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{P}$ invertierbar und es gibt ${}g\in {\mathcal {O}}_{P}$ mit ${}gf=1$. Es gibt eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq X$ mit (einem Repräsentanten)

${}g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})\,$

und eine eventuell kleinere offene Umgebung ${}U'$ mit ${}fg=1$. Auf dieser offenen Umgebung ist somit ${}f$ invertierbar und es gilt ${}P\in U'\subseteq X_{f}$. Die Vereinigung dieser offenen Umgebungen zeigt, dass ${}X_{f}$ offen ist.

Zur bewiesenen Aussage