Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeit/Offen/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist  ${}f(P)=0$  im Restekörper genau dann, wenn  ${}f\in {\mathfrak {m}}_{P}$  im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{P}$ gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{P}$ nicht invertierbar ist. Sei  ${}P\in X_{f}$.  Dann ist ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{P}$ invertierbar und es gibt  ${}g\in {\mathcal {O}}_{P}$  mit  ${}gf=1$.  Es gibt eine offene Umgebung  ${}P\in U\subseteq X$  mit (einem Repräsentanten)

${}g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})\,$

und eine eventuell kleinere offene Umgebung ${}U'$ mit  ${}fg=1$.  Auf dieser offenen Umgebung ist somit ${}f$ invertierbar und es gilt  ${}P\in U'\subseteq X_{f}$.  Die Vereinigung dieser offenen Umgebungen zeigt, dass ${}X_{f}$ offen ist.

Zur bewiesenen Aussage