Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeit/Offen/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist  $f(P)=0$  im Restekörper genau dann, wenn  $f\in {𝔪}_P$  im lokalen Ring ${𝒪}_P$ gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn $f$ in ${𝒪}_P$ nicht invertierbar ist. Sei  $P\in X_f$.  Dann ist $f$ in ${𝒪}_P$ invertierbar und es gibt  $g\in {𝒪}_P$  mit  $gf=1$.  Es gibt eine offene Umgebung  $P\in U\subseteq X$  mit (einem Repräsentanten)

$g\in \Gamma (U,𝒪)$

und eine eventuell kleinere offene Umgebung $U^{\prime }$ mit  $fg=1$.  Auf dieser offenen Umgebung ist somit $f$ invertierbar und es gilt  $P\in U^{\prime }\subseteq X_f$.  Die Vereinigung dieser offenen Umgebungen zeigt, dass $X_f$ offen ist.

Zur bewiesenen Aussage