Beweis
Wir konstruieren induktiv die
, .
Für
betrachten wir die Situation
-
Wegen der Minimalität rühren beide Abbildungen von einem minimalen Modulerzeugendensystem der Länge von her, sagen wir
-
und
-
Es ist dann
-
Durch die Festlegung
-
erhält man dann einen -Modulhomomorphismus von nach , der mit den gegebenen Abbildungen kommutiert. Die Abbildung ist surjektiv, da andernfalls ein echter Untermodul von schon surjektiv auf abbildet würde, was der Minimalität von widerspricht
(siehe
Aufgabe).
Dieser Isomorphismus führt somit auch die Kerne
-
und
-
ineinander über. Es sei nun vorausgesetzt, dass die Isomorphismen schon konstruiert sind und die Kerne ineinander überführen. Dann liegt die Situation
-
vor, wobei das Quadrat rechts kommutiert. Sowohl
als auch
rühren von einem minimalen Erzeugendensystem von
bzw.
her. Das im Wesentlichen gleiche Argument wie am Induktionsanfang zeigt, dass es einen Isomorphismus
-
gibt, der die Kerne ineinander überführt.