Lokaler Ring/Modul/Endlich erzeugt/Minimale Darstellung/Untermodul/Aufgabe

Es sei $(R,𝔪)$ ein lokaler Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei

$\phi :F⟶M$

ein surjektiver $R$-Modulhomomorphismus mit einem freien Modul $F$, wobei eine Basis auf ein minimales Erzeugendensystem abgebildet werde. Zeige, dass die Einschränkung von $\phi$ auf einen echten Untermodul  $U\subseteq F$  nicht surjektiv ist.

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