Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Erläuterung/Bemerkung

Entscheidend für die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines endlich erzeugten Moduls ${}M$ über einem noetherschen lokalen Ring sind die ${}R/{\mathfrak {m}}$-Vektorraumdimensionen von ${}{\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M$, denn diese sind nach Definition die ${}n$-te Stufe des assoziierten graduierten Moduls. Es liegt eine standard-graduierte ${}R/{\mathfrak {m}}$-Algebra ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R$ und darüber nach Fakt ein endlich erzeugter graduierter Modul ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M$ vor, sodass die Multiplizität wohldefiniert ist. Nach Fakt ist die Multiplizität eine natürliche Zahl.