Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler regulärer Ring der Dimension ${}d$ und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ Elemente. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es gibt Elemente ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ mit ${}(f_{1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}$.
2. Die Restklassen von ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ in ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ sind linear unabhängig über ${}K=R/{\mathfrak {m}}$.
3. Der Restklassenring ${}R/(f_{1},\ldots ,f_{n})$ ist regulär der Dimension ${}d-n$.

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