Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler regulärer Ring der Dimension ${}d$ und seien  ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$  Elemente. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es gibt Elemente ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ mit  ${}(f_{1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}$. 
2. Die Restklassen von ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ in ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ sind linear unabhängig über  ${}K=R/{\mathfrak {m}}$. 
3. Der Restklassenring ${}R/(f_{1},\ldots ,f_{n})$ ist regulär der Dimension ${}d-n$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen