Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ und ${}S\subseteq T$ gehört auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen ${}T_{i}$ ist auch

      $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$

2. Die Abbildung ${}\varphi$ heißt messbar, wenn für jede messbare Menge ${}T\subseteq N$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ messbar ist.
3. Das eindeutig bestimmte Maß ${}\lambda ^{1}=\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.
4. Eine Folge von Teilmengen ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, in ${}M$ mit ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ heißt Ausschöpfung von ${}M$, wenn ${}M=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ gilt.
5. Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig in ${}x$, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine offene Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in U$ und alle ${}f\in T$ gilt

   ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon \,.$

6. Unter dem ${}n$-ten Tschebyschow-Polynom versteht man das Polynom

   ${}T_{n}(t)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}t^{n-2k}(t^{2}-1)^{k}\,.$

Zur gelösten Aufgabe