Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Unter der von ${}{\mathcal {E}}$ erzeugten ${}\sigma$-Algebra versteht man die kleinste ${}\sigma$-Algebra, die ${}{\mathcal {E}}$ enthält.
2. Für eine beliebige Teilmenge ${}T\subseteq M$ definiert man

   ${\tilde {\mu }}(T):=\inf \left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)$

   und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes ${}\mu$.

3. Eine maßtreue Abbildung ist eine messbare Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   mit der Eigenschaft, dass für jede messbare Menge  ${}T\subseteq N$  die Beziehung

   ${}\nu (T)=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

   gilt.

4. Eine messbare numerische Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   heißt integrierbar, wenn die beiden Integrale ${}\int _{M}f_{+}\,d\mu$ und ${}\int _{M}f_{-}\,d\mu$ endlich sind.

5. Man definiert den ${}L^{p}$-Raum durch

   ${}L^{p}(X):={\mathcal {L}}^{p}(X)/{\mathcal {N}}\,,$

   wobei ${}{\mathcal {N}}$ die Menge der Funktionen bezeichnet, die außerhalb einer Nullmenge die Nullfunktion sind.

6. Das Bernoulli-Polynom ${}B_{n}$ wird rekursiv definiert: ${}B_{0}$ ist das konstante Polynom mit dem Wert ${}1$ und Polynom ${}B_{n+1}$ ist durch die beiden Bedingungen festgelegt: ${}B_{n+1}$ ist eine Stammfunktion von ${}(n+1)B_{n}$ und es ist

   ${}\int _{0}^{1}B_{n+1}(x)dx=0\,.$

Zur gelösten Aufgabe