Maße/Summe und Maximum/Aufgabe/Lösung

a) Die Summe ist ein Maß. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung ${}T=\bigcup _{i\in I}T_{i}$ gilt

{}{\begin{aligned}(\mu +\nu )(T)&=\mu (T)+\nu (T)\\&={\left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\right)}+{\left(\sum _{i\in I}\nu (T_{i})\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\mu (T_{i})+\nu (T_{i})\right)}\\&=\sum _{i\in I}(\mu +\nu )(T_{i}),\end{aligned}}

wobei im vorletzten Schritt der große Umordnungssatz verwendet wurde.

b) Durch das Maximum ergibt sich im Allgemeinen kein Maß. Dazu sei beispielsweise

{}T=\{x,y\}\,

eine zweielementige Menge und ${}\mu$ sei das in ${}x$ konzentrierte Dirac-Maß und ${}\nu$ sei das in ${}y$ konzentrierte Dirac-Maß. Dann ist

{}\mu (T)=\nu (T)=1\,

und damit ist auch das Maximum davon ${}1$ . Ferner ist

{}{\max {\left(\mu (\{x\}),\nu (\{x\})\right)}}={\max {\left(1,0\right)}}=1\,

und ebenso ${}{\max {\left(\mu (\{y\}),\nu (\{y\})\right)}}=1$ . Würde ein Maß vorliegen, so müsste also

{}{\max {\left(\mu ,\nu \right)}}(T)={\max {\left(\mu ,\nu \right)}}(\{x\}\cup \{y\})=1+1=2\,

sein.