Bei ‖ f ‖ p = 0 {\displaystyle {}\Vert {f}\Vert _{p}=0} ist die Aussage nach Fakt klar, wir können also von ‖ f ‖ p , ‖ g ‖ p > 0 {\displaystyle {}\Vert {f}\Vert _{p},\Vert {g}\Vert _{p}>0} ausgehen. Zu x ∈ X {\displaystyle {}x\in X} wenden wir auf A = | f ( x ) | ‖ f ‖ p {\displaystyle {}A={\frac {\vert {f(x)}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}} und B = | g ( x ) | ‖ g ‖ q {\displaystyle {}B={\frac {\vert {g(x)}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}} die Abschätzung
(siehe Aufgabe) an und erhalten
Multiplikation mit dem Vorfaktor ergibt die Behauptung.