Maßraum/Indikatorfunktionen zu Teilmengen/Unstetigkeit des Integrals/Aufgabe/Lösung

Für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ ist

${}\varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)=\int _{M}e_{A_{t}}(x)\,d\mu (x)=\int _{A_{t}}1\,d\mu (x)=\mu (A_{t})\,.$

Wenn z.B. ${}M$ ein Maßraum ist mit ${}\mu (M)=1$ und die Familie durch

$A_{t}={\begin{cases}\emptyset {\text{ für }}t\leq 0\,,\\M{\text{ für }}t>0\,,\end{cases}}$

gegeben ist, so besitzt die Funktion ${}\varphi (t)=\mu (A_{t})$ eine Sprungstelle in ${}0$ und ist daher nicht stetig.

Die Bedingung (1) ist erfüllt. Für festes ${}t\in \mathbb {R}$ geht es um die Abbildung

$M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e_{A_{t}}(x).$

Da ${}A_{t}$ nach Voraussetzung messbar ist, ist diese Abbildung messbar.

Die Bedingung (3) ist erfüllt, und zwar mit der konstanten Funktion ${}h=1$. Es ist ${}\int _{M}h\,d\mu =\mu (M)<\infty$ aufgrund der vorausgesetzten Endlichkeit des Maßraumes ${}M$, und es ist ${}e_{A}\leq h$ für jede Indikatorfunktion.

Da die Schlussfolgerung des Satzes nicht gilt, kann die Bedingung (2) nicht generell erfüllt sein.

Zur gelösten Aufgabe