Maßraum/Indikatorfunktionen zu Teilmengen/Unstetigkeit des Integrals/Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und ${}A_{t}$, ${}t\in \mathbb {R}$, eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen ${}e_{A_{t}}$. Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x)=e_{A_{t}}(x).$

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Fakt sind erfüllt, welche nicht?

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