Maßraum/Integrierbare Funktionen/L^1-Norm/Motivation/Beispiel

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und ${}V$ der Vektorraum der integrierbaren Funktionen auf ${}M$. Dann ist es naheliegend, durch ${}\int _{M}\vert {f}\vert d\mu$ eine „Norm“ auf diesem Raum zu definieren. Allerdings ist dies keine Norm im Sinne der Definition, da das Integral einer nichtnegativen Funktion gleich ${}0$ sein kann, ohne dass die Funktion selbst die Nullfunktion ist.