Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenreihe/Normabschätzung/Fast überall konvergent/p-Konvergenz/Fakt

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und ${}p\geq 1$. Es sei ${}g_{n}$ eine Folge von Funktionen in ${}{\mathcal {L}}^{p}(X)$ derart, dass die reelle Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }\Vert {g_{n}}\Vert _{p}$ konvergiert.

Dann konvergiert die Funktionenreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}$ fast überall und auch bezüglich der ${}p$-Norm gegen eine Funktion ${}g\in {\mathcal {L}}^{p}(X)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen