Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenreihe/Normabschätzung/Fast überall konvergent/p-Konvergenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}b=\sum _{n=0}^{\infty }\Vert {g_{n}}\Vert _{p}$.  Wir betrachten die Partialsummen

${}h_{m}=\sum _{n=0}^{m}\vert {g_{n}}\vert \,$

und die Grenzfunktion

${}h=\lim _{m\rightarrow \infty }h_{m}=\sum _{n=0}^{\infty }\vert {g_{n}}\vert \,,$

die auch den Wert ${}\infty$ annehmen kann. Daher ist auch

${}h^{p}=\lim _{m\rightarrow \infty }h_{m}^{p}\,$

und nach dem Satz von der monotonen Konvergenz ist

${}\int _{X}h^{p}d\mu =\lim _{m\rightarrow \infty }\int _{X}h_{m}^{p}d\mu \,.$

Für Potenzieren mit dem Exponenten ${}1/p$ und erhalten

${}\Vert {h}\Vert _{p}=\lim _{m\rightarrow \infty }\Vert {h_{m}}\Vert _{p}=\lim _{m\rightarrow \infty }\Vert {\sum _{n=0}^{m}\vert {g_{n}}\vert }\Vert _{p}\,.$

Wegen

${}\Vert {\sum _{n=0}^{m}\vert {g_{n}}\vert }\Vert _{p}\leq \sum _{n=0}^{m}\Vert {g_{n}}\Vert _{p}\leq b\,$

für alle ${}m$ ist dies beschränkt. Es folgt  ${}h\in {\mathcal {L}}^{p}$  und insbesondere ist ${}h^{p}$ integrierbar. Dies bedeutet, dass ${}h$ allenfalls auf einer Nullmenge den Wert ${}\infty$ annimmt. Die Funktionenreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {g_{n}}\vert$ ist also außerhalb einer Nullmenge punktweise konvergent und daher ist nach Fakt auch die Funktionenreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}$ außerhalb einer Nullmenge punktweise konvergent gegen eine Funktion ${}g$. Mit Fakt folgt, dass auch Konvergenz bezüglich der ${}p$-Norm vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage