Maßraum/Messbarer Integralkern/Linearer Operator/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}K(u,t)\leq S$ eine Schranke. Die Funktion ${}K(u,t)f(t)$ ist dann insbesondere auf dem endlichen Maßraum integrierbar, sodass das Integral existiert. Dabei gilt

${}{\begin{aligned}(T(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2}))(u)&=\int _{M}K(u,t){\left(c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)\right)}d\mu (t)\\&=c_{1}\int _{M}K(u,t)f_{1}(t)d\mu (t)+c_{2}\int _{M}K(u,t){\left(f_{2}(t)\right)}d\mu (t)\\&=c_{1}(T(f_{1}))(u)+c_{2}(T(f_{2}))(u)\\&=(c_{1}(T(f_{1}))+c_{2}(T(f_{2})))(u)\end{aligned}}$

nach Fakt.

${}{\begin{aligned}\Vert {T(f)}\Vert ^{2}&=\int _{M}\vert {T(f)(u)}\vert ^{2}d\mu (u)\\&=\int _{M}\vert {\int _{M}K(u,t)f(t)d\mu (t)}\vert ^{2}d\mu (u)\\&\leq \int _{M}{\left(\int _{M}\vert {K(u,t)f(t)}\vert d\mu (t)\right)}^{2}d\mu (u)\\&\leq S^{2}\int _{M}{\left(\int _{M}\vert {f(t)}\vert d\mu (t)\right)}^{2}d\mu (u)\\&\leq S^{2}\int _{M}{\left(\mu (M)\int _{M}\vert {f(t)}\vert ^{2}d\mu (t)\right)}d\mu (u)\\&=S^{2}\cdot \mu (M)^{2}\cdot \Vert {f}\Vert ^{2}.\end{aligned}}$

Zitat.

Zur bewiesenen Aussage