Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Linearer Zusammenhang/Horizontale Schnitte/Untervektorraum/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ linear unabhängige horizontale Schnitte auf ${}U$. Es sei ${}s$ ein weiterer differenzierbarer horizontaler Schnitt. Man kann ${}s$ eindeutig als ${}s=\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}$ mit Funktionen

$g_{i}\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$

schreiben. Somit ist nach Fakt

${}0=\nabla s=\nabla {\left(\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{r}\nabla {\left(g_{i}s_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{r}s_{i}\otimes dg_{i}\,.$

Auf jeder kleineren offenen Menge, die zu ${}U'\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ diffeomorph ist, kann man dies unter Verwendung von Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ als ${}\sum _{i=1}^{r}{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}{\left(s_{i}\otimes dx_{j}\right)}$ schreiben. Die ${}s_{i}\otimes dx_{j}$ bilden (über dieser offenen Menge) eine Basis von ${}E{|}_{U'}\otimes TU'$ und daher muss ${}{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}=0$ sein. Also sind die ${}g_{i}$ konstant (dies gilt wegen zusammenhängend auch auf ${}U$) und somit ist ${}s$ eine ${}{\mathbb {K} }$-Linearkombination der ${}s_{i}$.

Zur bewiesenen Aussage