Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Leibnizregel/Fakt

Leibnizregel für lineare Zusammenhänge

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.

Dann erfüllt die zugehörige vertikale Ableitung

$\mathrm{\nabla }:C^1(E)⟶C^0(E\otimes T^{\ast }X),s⟼\mathrm{\nabla }(s),$

die Leibnizregel, d.h. für jeden differenzierbaren Schnitt $s$ in $E$ und jede differenzierbare Funktion $f$ (die beide auf einer offenen Menge  $U\subseteq X$  definiert sind) gilt

$\mathrm{\nabla }(fs)=s\otimes df+f\mathrm{\nabla }(s).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen