Beweis
Beide Seiten sind lokal in , wir können also annehmen, dass
ein triviales Bündel
(mit einem -Vektorraum )
ist. Es seien konstante Basisschnitte von , d.h. ist konstant gleich einem Vektor
,
und diese Vektoren bilden eine Basis von . Wenn die Gleichheit für diese
(und beliebige )
gezeigt ist, so folgt sie allgemein. Man kann jeden Schnitt in eindeutig als
mit Koeffizientenfunktionen schreiben. Damit gilt unter Verwendung der -Linearität der beiden Seiten und der Leibnizregel für die konstanten Schnitte die Beziehung
Es sei also nun ein Schnitt, der konstant gleich ist. Es sei
.
Wegen
können wir weiter annehmen, dass
ist. Dann ist
und wir müssen nur noch den vorderen Summanden betrachten. Der Tangentialraum von
in ist gleich , und da der Nullschnitt horizontal ist, ist diese Zerlegung auch die Zerlegung in Horizontal- und Vertikalraum. Die vertikale Ableitung im Punkt ist die Gesamtabbildung
-
und da
konstant ist, ist dies gleich
.