Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Linearer Zusammenhang/Leibnizregel/Fakt

Leibnizregel für lineare Zusammenhänge

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.

Dann erfüllt die zugehörige vertikale Ableitung

$\nabla \colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E\otimes T^{*}X),\,s\longmapsto \nabla (s),$

die Leibnizregel, d.h. für jeden differenzierbaren Schnitt ${}s$ in ${}E$ und jede differenzierbare Funktion ${}f$ (die beide auf einer offenen Menge $U\subseteq X$ definiert sind) gilt

${}\nabla (fs)=s\otimes df+f\nabla (s)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen