Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Trivialer Zusammmenhang/Beispiel

Auf dem trivialen Bündel

$p\colon X\times W=W_{X}\longrightarrow X,$

wobei ${}W$ einen reellen Vektorraum der Dimension ${}r$ und ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit bezeichnet, liegt die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,p^{*}(X\times W)=X\times W\times W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,p^{*}T(X\times W)=TX\times W\times W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,p^{*}TX=TX\times W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von Vektorbündeln über ${}X\times W$ vor. Die Produkte werden dabei absolut genommen, wobei links die Identifizierung ${}(X\times W)\times _{X}(X\times W)=X\times W\times W$ und rechts die Identifizierung ${}TX\times _{X}(X\times W)=TX\times W$ vorgenommen wurde. Zu einem Punkt ${}(x,w)\in X\times W$ gehört die exakte Sequenz der Fasern, also

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,T_{x}X\times W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,T_{x}X\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Die triviale Spaltung dieser kurzen exakten Sequenz von Vektorbündeln nennt man den trivialen Zusammenhang auf dem trivialen Bündel.