Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition

Differenzierbare Mannigfaltigkeit

Es seien  ${}n\in \mathbb {N}$  und  ${}k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}$.  Ein topologischer Hausdorffraum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung  ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  und Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

mit  ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen derart, dass die Übergangsabbildungen

$\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

${}C^{k}$-Diffeomorphismen für alle  ${}i,j\in I$  sind, heißt ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeit oder differenzierbare Mannigfaltigkeit (der Dimension ${}n$ vom Differenzierbarkeitsgrad ${}k$). Die Menge der Karten ${}(U_{i},\alpha _{i})$, ${}i\in I$, nennt man auch den ${}C^{k}$-Atlas der Mannigfaltigkeit.