Mannigfaltigkeit mit Rand/Offene Teilmenge/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}P\in N$ und ${}P\in U$ ein Kartengebiet von ${}M$. Es sei

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine Karte mit einer offenen Menge ${}V\subseteq H$, ${}H=\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} ^{n-1}$. Diese Karte induziert einen Homöomorphismus

$N\cap U\longrightarrow \alpha (N\cap U).$

Diese Karten nehmen wir für ${}N$. Die Diffeomorphieeigenschaft der Kartenwechsel zu ${}M$ überträgt sich direkt auf die Karten zu ${}N$. Es sei ${}P\in N\cap \partial M$. Dann wird ${}P$ unter einer Karte auf einen Randpunkt von ${}H$ abgebildet, und da die Karten für ${}N$ Einschränkungen von solchen Karten sind, bleibt diese Eigenschaft erhalten. Wenn umgekehrt ${}P\in \partial N$ ist, so ist natürlich einerseits ${}P\in N\subseteq M$. Andererseits gibt es zu ${}P$ eine Karte zu ${}N$, die durch Einschränkung von einer Karte zu ${}M$ herrührt, in der ${}P$ auf einen Randpunkt von ${}H$ abgebildet wird.

Zur gelösten Aufgabe