Mannigfaltigkeit mit Rand/Tangentialraum/Halbraum/Charakterisierung/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}\gamma$ ein Halbweg in ${}M$ wie angegeben und sei ${}P\in U\subseteq M$ ein Kartengebiet mit einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq H_{\leq 0}$

mit

${}H_{\leq 0}={\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mid x_{1}\leq 0\right\}}\,$

und mit

${}Q=\alpha (P)=\left(0,\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\,.$

Unter der Tangentialabbildung wird ${}v=\gamma '(0)$ auf den Ableitungsvektor von ${}\delta =\alpha \circ \gamma$ im Nullpunkt abgebildet. Da ${}\gamma$ in ${}M$ verläuft, verläuft ${}\delta$ ganz in ${}H_{\leq 0}$. Daher ist im Differenzenquotient

${\frac {\left(\delta _{1}(t),\,\delta _{2}(t),\,\ldots ,\,\delta _{n}(t)\right)}{t}}$

sowohl ${}t$ negativ als auch ${}\delta _{1}(t)$ negativ und daher ist

${}\delta _{1}'(0)\geq 0\,,$

gehört also zur positiven Hälfte.

Es gehöre umgekehrt ${}T_{P}(\alpha )(v)$ zur positiven Hälfte. Dann verläuft die Gerade

$\delta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto Q+tv$

für ${}t\leq 0$

ganz in der negativen Hälfte. Der Weg ${}\alpha ^{-1}\circ \delta$ ist auf einem negativen Intervall definiert und landet in ${}M$ und ist eine Halbwegrealisierung von ${}v$.

Zur gelösten Aufgabe