Es sei
ein Halbweg in
wie angegeben und sei
ein Kartengebiet mit einer Karte
-
mit
-

und mit
-

Unter der Tangentialabbildung wird
auf den Ableitungsvektor von
im Nullpunkt abgebildet. Da
in
verläuft, verläuft
ganz in
. Daher ist im Differenzenquotient
-
sowohl
negativ als auch
negativ und daher ist
-

gehört also zur positiven Hälfte.
Es gehöre umgekehrt
zur positiven Hälfte. Dann verläuft die Gerade
-
für
ganz in der negativen Hälfte. Der Weg

ist auf einem negativen Intervall definiert und landet in

und ist eine Halbwegrealisierung von

.