Mathematik/Prinzipien/Existenz/Bemerkung

Neben Allaussagen gibt es Existenzaussagen. Diese besagen, dass es in einem bestimmten Kontext ein Element mit einer bestimmten Eigenschaft gibt. In der Mathematik bedeutet Existenz immer die Existenz von mindestens einem Objekt. Neben „es gibt“ trifft man auf Formulierungen wie „es existiert“, „man findet“, „man kann finden“ oder „wir wählen“. In formaler Schreibweise wird auch das Symbol ${}\exists$, der Existenzquantor, verwendet (siehe hierzu auch Bemerkung).

Zum Beispiel gibt es innerhalb der natürlichen Zahlen ein Zahl, die addiert zu jeder beliebigen Zahl jene Zahl ergibt, nämlich die ${}0$. Dass eine gegebene natürliche Zahl ${}n$ gerade ist kann man dadurch ausdrücken, dass es eine weitere natürliche Zahl ${}k$ mit der Beziehung ${}n=k+k=2k$. gibt. Zu einer ganzen Zahl gibt es eine dazugehörige negative Zahl. Eine Gleichung kann eine Lösung besitzen, aber im Allgemeinen ist nicht jede Zahl eine Lösung.

Die Existenz eines Objektes ergibt sich, wenn man ein solches explizit angeben kann. Sie kann aber auch anders, etwa durch die Existenz gewisser anderer Objekte erschlossen werden. Wenn die Existenz eines Objektes bekannt ist, so wird in einer mathematischen Argumentation häufig ein solches Element „hergenommen“, irgendwie bezeichnet und dann weiterverarbeitet. Dabei darf dann nur die reine Existenz des Objektes verwendet werden, keine weiteren Eigenschaften, die man ja nicht kennt. Man darf ein solches existierendes Objekt beliebig bezeichnen, allerdings nur mit einem Buchstaben, der im gegebenen Kontext nicht verbraucht ist.

Von der reinen Existenz muss man die Frage unterscheiden, ob es mehrere Objekte gibt, die eine gewisse Eigenschaft erfüllen, oder aber nur ein einziges. Im letzteren Fall spricht man von der eindeutigen Existenz.