Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$, ${}n\geq 2$, besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
2. Die Exponentialfunktion

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a^{x},$

   zur Basis  ${}a>0$  ist differenzierbar mit

   ${}{\left(a^{x}\right)}'={\left(\ln a\right)}a^{x}\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann ist die Determinante

   $\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

   multilinear. D.h., dass für jedes  ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$,  für je ${}n-1$ Vektoren  ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$  und für  ${}u,w\in K^{n}$  die Gleichheit

   ${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

   und für  ${}s\in K$  die Gleichheit

   ${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe