Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Die Ausdrucksmenge ${}\Gamma$ heißt widersprüchlich, wenn es einen Ausdruck ${}\alpha \in L^{V}$ mit ${}\Gamma \vdash \alpha$ und ${}\Gamma \vdash \neg \alpha$ gibt.
2. Man nennt die Menge

   ${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

   die Produktmenge der Mengen ${}L$ und ${}M$.

3. Der Ausdruck ${}\alpha$ heißt ableitbar, wenn er sich aus den Grundtautologien, also
   • den aussagenlogischen syntaktischen Tautologien,
   • den Gleichheitsaxiomen,
   • der Existenzeinführung im Sukzedens,

   durch sukzessive Anwendung der Ableitungsregeln Modus ponens und der Existenzeinführung im Antezedens erhalten lässt.

4. Die Funktion ${}F$ heißt repräsentierbar in ${}\Gamma$, wenn es einen ${}L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck ${}\psi$ in ${}r+s$ freien Variablen derart gibt, dass für alle ${}(r+s)$-Tupel ${}(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ die folgenden Eigenschaften
   1. Wenn ${}F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$, so ist ${}\Gamma \vdash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$,
   2. Wenn ${}F(n_{1},\ldots ,n_{r})\neq (n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$, so ist ${}\Gamma \vdash \neg \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$,
   3. ${}\Gamma \vdash \exists !x_{r+1}\ldots \exists !x_{r+s}\psi (n_{1},\ldots ,n_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+s})$,

   gelten.

5. Das modallogische Axiomenschema

   $\Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$

   nennt man Möglichkeitsaxiom.

6. Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ nennt man

   ${}\operatorname {Nachf} {\left(T\right)}={\left\{z\in M\mid {\text{ es gibt }}y\in T{\text{ mit }}yRz\right\}}\,$

   die Nachfolgermenge zu ${}T$.

Zur gelösten Aufgabe