Mathematische Logik/Modellbeziehung/Definition

Gültigkeit unter einer Interpretation

Zu einem Symbolalphabet ${}S$ erster Stufe und einer ${}S$-Interpretation ${}I$ in einer Menge ${}M$ werden die ${}S$-Ausdrücke folgendermaßen (induktiv über den Aufbau der Ausdrücke) interpretiert und als gültig (oder ungültig) charakterisiert (die Gültigkeit einer Aussage ${}\alpha$ unter der Interpretation wird dabei als ${}I\vDash \alpha$ geschrieben). Es seien ${}s,t,t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme, ${}R$ ein ${}n$-stelliges Relationssymbol und ${}\alpha ,\beta$ Ausdrücke.

1. ${}I\vDash s=t$, wenn ${}I(s)=I(t)$.
2. ${}I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}$, wenn ${}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))\in R^{M}$.
3. ${}I\vDash \neg {\left(\alpha \right)}$, wenn nicht ${}I\vDash \alpha$ gilt.
4. ${}I\vDash {\left(\alpha \right)}\wedge {\left(\beta \right)}$, wenn ${}I\vDash \alpha$ und ${}I\vDash \beta$ gilt.
5. ${}I\vDash {\left(\alpha \right)}\rightarrow {\left(\beta \right)}$, wenn die Gültigkeit ${}I\vDash \alpha$ die Gültigkeit ${}I\vDash \beta$ impliziert.
6. ${}I\vDash \exists x\alpha$, wenn es ein ${}m\in M$ mit ${}I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$ gibt.
7. ${}I\vDash \forall x\alpha$, wenn für alle ${}m\in M$ die Beziehung ${}I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$ gilt.