Matrix/-4-1-23 6771 003-2 0062/Trigonalisierbar/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

${}{\begin{aligned}\det XE_{4}-{\begin{pmatrix}-4&-1&-2&3\\6&7&7&1\\0&0&3&-2\\0&0&6&2\end{pmatrix}}&=\det {\begin{pmatrix}X+4&1&2&-3\\-6&X-7&-7&-1\\0&0&X-3&2\\0&0&-6&X-2\end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}X+4&1\\-6&X-7\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}X-3&2\\-6&X-2\end{pmatrix}}\\&=((X+4)(X-7)+6)((X-3)(X-2)+12)\\&=(X^{2}-3X-22)(X^{2}-5X+18).\end{aligned}}$

Der rechte Faktor ist

${}X^{2}-5X+18={\left(X-{\frac {5}{2}}\right)}^{2}+18-{\frac {25}{4}}>0\,$

stets positiv und besitzt daher in ${}\mathbb {R}$ keine Nullstelle. Also zerfällt das charakteristische Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren und nach Fakt

ist die Matrix nicht trigonalisierbar.

Zur gelösten Aufgabe