Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit/Beispiel

Wir betrachten $2\times 2$-Scherungsmatrizen

$\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)$

mit  $a\in K$.  Die Eigenwertbedingung für ein  $\lambda \in K$  bedeutet

$\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),$

was zu den beiden Gleichungen

$x+ay=\lambda x\text{ und }y=\lambda y$

führt. Bei  $\lambda \ne 1$  folgt  $y=0$  und dann auch  $x=0$,  d.h. es kann nur $1$ ein Eigenwert sein. In diesem Fall ist die zweite Gleichung erfüllt und die erste Gleichung wird zu

$x+ay=x\text{ bzw. }ay=0.$

Bei  $a\ne 0$  muss also  $y=0$  sein und dann ist $\left(\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right)$ der Eigenraum zum Eigenwert $1$, und $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ ist ein Eigenvektor, der den Eigenraum aufspannt. Bei  $a=0$  liegt die Einheitsmatrix vor, und der Eigenraum zum Eigenwert $1$ ist die gesamte Ebene. Bei  $a\ne 0$  gibt es also nur einen eindimensionalen Eigenraum und die Abbildung ist nicht diagonalisierbar.