Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit/Beispiel

Wir betrachten ${}2\times 2$-Scherungsmatrizen

${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}$

mit ${}a\in K$. Die Eigenwertbedingung für ein ${}\lambda \in K$ bedeutet

${}{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,,$

was zu den beiden Gleichungen

$x+ay=\lambda x{\text{ und }}y=\lambda y$

führt. Bei ${}\lambda \neq 1$ folgt ${}y=0$ und dann auch ${}x=0$, d.h. es kann nur ${}1$ ein Eigenwert sein. In diesem Fall ist die zweite Gleichung erfüllt und die erste Gleichung wird zu

$x+ay=x{\text{ bzw. }}ay=0.$

Bei ${}a\neq 0$ muss also ${}y=0$ sein und dann ist ${}{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$ der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$, und ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ist ein Eigenvektor, der den Eigenraum aufspannt. Bei ${}a=0$ liegt die Einheitsmatrix vor, und der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$ ist die gesamte Ebene. Bei ${}a\neq 0$ gibt es also nur einen eindimensionalen Eigenraum und die Abbildung ist nicht diagonalisierbar.