Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit/Beispiel

Wir betrachten ${}2\times 2$-Scherungsmatrizen

${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}$

mit  ${}a\in K$.  Die Eigenwertbedingung für ein  ${}\lambda \in K$  bedeutet

${}{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,,$

was zu den beiden Gleichungen

$x+ay=\lambda x{\text{ und }}y=\lambda y$

führt. Bei  ${}\lambda \neq 1$  folgt  ${}y=0$  und dann auch  ${}x=0$,  d.h. es kann nur ${}1$ ein Eigenwert sein. In diesem Fall ist die zweite Gleichung erfüllt und die erste Gleichung wird zu

$x+ay=x{\text{ bzw. }}ay=0.$

Bei  ${}a\neq 0$  muss also  ${}y=0$  sein und dann ist ${}{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$ der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$, und ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ist ein Eigenvektor, der den Eigenraum aufspannt. Bei  ${}a=0$  liegt die Einheitsmatrix vor, und der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$ ist die gesamte Ebene. Bei  ${}a\neq 0$  gibt es also nur einen eindimensionalen Eigenraum und die Abbildung ist nicht diagonalisierbar.