Matrix/3x3/Eigenräume/R/Aufgabe/Lösung

1. Das charakteristische Polynom ist

   ${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}x-3&1&-5\\0&x+4&-2\\0&-1&x+3\end{pmatrix}}&=(x-3){\left((x+4)(x+3)-2\right)}\\&=(x-3){\left(x^{2}+7x+10\right)}\\&=x^{3}+4x^{2}-11x-30.\end{aligned}}$

2. Die Nullstellenbestimmung von ${}x^{2}+7x+10$ führt auf

   ${}x_{1},x_{2}={\frac {-7\pm {\sqrt {49-40}}}{2}}={\frac {-7\pm 3}{2}}=-2,-5\,,$

   das charakteristische Polynom hat also die Faktorzerlegung

   $(x-3)(x+2)(x+5).$

   Die Eigenwerte sind also ${}3,-2,-5$, jeweils mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit ${}1$.

3. Der Eigenraum zum Eigenwert ${}3$ ist ${}\mathbb {R} e_{1}$. Der Eigenraum zum Eigenwert ${}-2$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}-5&1&-5\\0&2&-2\\0&-1&1\end{pmatrix}}$, dieser ist ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}-{\frac {4}{5}}\\1\\1\end{pmatrix}}$. Der Eigenraum zum Eigenwert ${}-5$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}-8&1&-5\\0&-1&-2\\0&-1&-2\end{pmatrix}}$, dieser ist ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}{\frac {7}{8}}\\2\\-1\end{pmatrix}}$.

Zur gelösten Aufgabe