Matrix/Eigenwerte/Basiswechsel/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}\lambda$ ein Eigenwert zu ${}M$ . Dann gibt es ein von ${}0$ verschiedenes Koordinatentupel ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ mit
${}M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Es sei

${}{\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}=B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,,$

was ebenfalls nicht ${}0$ ist. Dann ist

${}{\begin{aligned}N{\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}&=(BMB^{-1}){\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}\\&=(BMB^{-1})B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=BM{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=B\lambda {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

d.h. ${}\lambda$ ist auch ein Eigenwert von ${}N$ . Wegen

${}M=B^{-1}NB\,$

ist die Situation symmetrisch, daher sind Eigenwerte von ${}N$ auch Eigenwerte von ${}M$ .
Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes besitzen ${}M$ und ${}N$ das gleiche charakteristische Polynom. Da die Eigenwerte genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, stimmen die Eigenwerte überein.