Matrix/Nilpotent/Typische Gestalt/Beispiel

Es sei ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix, bei der alle Diagonalelemente ${}0$ seien. ${}M$ hat also die Gestalt

${\begin{pmatrix}0&*&\cdots &\cdots &*\\0&0&*&\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&*\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.$

Dann ist ${}M$ nilpotent, und zwar bewegt sich mit jedem Potenzieren die ${}0$-Hauptdiagonale nach rechts oben. Wenn man nämlich beispielsweise das Produkt für die ${}i$-te Zeile und die ${}j$-te Spalte mit

${}i\geq j-1\,$

ausrechnet, so kommt in den Teilprodukten stets eine ${}0$ vor und das Ergebnis ist ${}0$.