Matrix/Rang/Faktorisierung/Maximum/Aufgabe/Lösung

1. Wir fassen die Matrix als lineare Abbildung

   $K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

   Nach Fakt ist der Rang dieser Abbildung gleich ${}r$, d.h. das Bild ${}V\subseteq K^{m}$ besitzt die Dimension ${}r$. Es gibt also eine Faktorisierung

   $K^{n}\longrightarrow V\longrightarrow K^{m},$

   wobei die erste Abbildung die durch ${}M$ gegebene Abbildung mit dem Bild ${}V$ ist und die zweite Abbildung die Inklusion ${}V\subseteq K^{m}$. Mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ von ${}V$ und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine ${}r\times n$-Matrix ${}A$ und eine ${}m\times r$-Matrix ${}B$ beschrieben. Somit gilt

   ${}M=B\circ A\,.$

   Da die durch ${}A$ beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf ${}V$ abbildet, ist ihr Rang gleich ${}r$. Da das Bild der durch ${}B$ beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension ${}r$ besitzt, ist ihr Rang auch ${}r$.

2. Wir nehmen an, dass es eine Darstellung

   ${}M=B\circ A\,$

   mit einer ${}s\times n$-Matrix ${}A$ und einer ${}m\times s$-Matrix ${}B$ gibt. Dann ergibt sich eine Faktorisierung

   $K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{s}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{m}.$

   Das Bild der Gesamtabbildung ist im Bild der hinteren Abbildung enthalten, und ist somit höchstens ${}s$-dimensional. Da ${}r$ die Dimension des Bildes der Gesamtabbildung ist, ergibt sich aus ${}s<r$ ein Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe