Matrix/Rang/Faktorisierung/Maximum/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
  1. Wir fassen die Matrix als lineare Abbildung

    Nach Fakt ist der Rang dieser Abbildung gleich , d.h. das Bild besitzt die Dimension . Es gibt also eine Faktorisierung

    wobei die erste Abbildung die durch gegebene Abbildung mit dem Bild ist und die zweite Abbildung die Inklusion . Mit einer Basis von und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine -Matrix und eine -Matrix beschrieben. Somit gilt

    Da die durch beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf abbildet, ist ihr Rang gleich . Da das Bild der durch beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension besitzt, ist ihr Rang auch .

  2. Wir nehmen an, dass es eine Darstellung

    mit einer -Matrix und einer -Matrix gibt. Dann ergibt sich eine Faktorisierung

    Das Bild der Gesamtabbildung ist im Bild der hinteren Abbildung enthalten, und ist somit höchstens -dimensional. Da die Dimension des Bildes der Gesamtabbildung ist, ergibt sich aus ein Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe