Matrizen/2x2/Dritteldrehung und Spiegelungen/Gruppe/Aufgabe/Lösung

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a) Zur Abkürzung sei

Es ist

und dies ist die dritte der angeführten Matrizen. Ferner ist

Daher sind sämtliche Produkte, die man aus den drei Matrizen bilden kann, wieder eine der Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist assoziativ, da dies ganz allgemein für die Matrizenmultiplikation gilt. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Verknüpfung, und nach obiger Rechnung sind und invers zueinander.

b) Wir setzen

wobei

ist. Ferner ist

und

es geht also um die sechs Matrizen

die wir alle einheitlich als

schreiben können. Ein Matrizenprodukt kann man somit als

schreiben. Bei oder liegt direkt wieder ein Ausdruck der Form vor, wobei man wegen und erreichen kann, dass und ist. Bei und kommt im Innern der Ausdruck vor. Dieser ist

Daher kann man die nach rechts bringen und erhält eine Darstellung wie zuvor. Die Matrizenmuliplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist wieder assoziativ und die Einheitsmatrix ist das neutrale Element. Das inverse Element zu ist aufgrund des bisher Bewiesenen

und dieses gehört zur Menge.
Zur gelösten Aufgabe