Matrizen/Isometrisch bezüglich Maximumsnorm/Aufgabe/Lösung

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  1. Wenn nicht invertierbar wäre, so gäbe es einen nichttrivialen Kern, sagen wir , , mit

    Dann ist aber

    und

    was der isometrischen Eigenschaft widerspricht.

  2. Die Einheitsmatrix ist offenbar -isometrisch. Wenn und diese Eigenschaft haben, so ist wegen
    die Verknüpfung ebenfalls -isometrisch. Wenn die inverse Matrix zur -isometrischen Matrix ist, so ist wegen

    auch -isometrisch.

  3. In einer Permutationsmatrix steht in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine . Daher ist ein Vektor, der die Einträge von permutiert. Das Maximum der Beträge bleibt dabei gleich.
  4. Ein Beispiel ist
  5. In einer Vorzeichen-Permutationsmatrix steht in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine oder eine . Daher ist ein Vektor, der die Einträge von permutiert und eventuell mit einem Vorzeichen versieht. Das Maximum der Beträge bleibt dabei gleich.
  6. Sei -isometrisch. Für jeden Standardvektor ist die Maximumsnorm von gleich . Das bedeutet, dass in jeder Spalte von eine oder eine vorkommt. In der -ten Spalte der Matrix sei der -te Eintrag gleich oder . Wir betrachten den Vektor

    der die Maximumsnorm besitzt, wobei wir das Vorzeichen an der -ten Stelle genau dann positiv wählen, wenn ist. Dann ist

    Wegen der Isometrie muss dies sein, d.h. in der -ten Zeile muss überall abgesehen von der Stelle eine stehen. Wenn in einer Spalte mehr als zwei Einträge wären, so wären die Zeilen zu diesen Stellen linear abhängig, was Teil (1) widerspricht. Somit ist eine Vorzeichen-Permutationsmatrix.

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