Matrizen/Isometrisch bezüglich Maximumsnorm/Aufgabe
Der sei mit der Maximumsnorm
versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen
mit der Eigenschaft
für alle
.
Eine solche Matrix nennen wir -isometrisch.
a) Zeige, dass eine -isometrische Matrix
invertierbar
ist.
b) Zeige, dass die Menge der -isometrischen Matrizen eine
Untergruppe
der
allgemeinen linearen Gruppe
bildet.
c) Zeige, dass eine
Permutationsmatrix
-isometrisch ist.
d) Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die jeweils ein oder ein -Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine -Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich ist.
e) Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix -isometrisch ist.
f) Zeige, dass jede -isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.