Matrizen/Isometrisch bezüglich Maximumsnorm/Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der Maximumsnorm

${}\Vert {v}\Vert =\Vert {v}\Vert _{\rm {max}}\,$

versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen

${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

mit der Eigenschaft

${}\Vert {Mv}\Vert =\Vert {v}\Vert \,$

für alle ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$. Eine solche Matrix nennen wir ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch.

1. Zeige, dass eine ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrische Matrix invertierbar ist.
2. Zeige, dass die Menge der ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrischen Matrizen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bildet.
3. Zeige, dass eine Permutationsmatrix ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch ist.
4. Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die ${}1$ jeweils ein ${}+$ oder ein ${}-$-Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine ${}3\times 3$-Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich ${}1$ ist.
5. Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch ist.
6. Zeige, dass jede ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.

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