Matrizen/Isometrisch bezüglich Maximumsnorm/Aufgabe

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Der sei mit der Maximumsnorm

versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen

mit der Eigenschaft

für alle . Eine solche Matrix nennen wir -isometrisch.

  1. Zeige, dass eine -isometrische Matrix invertierbar ist.
  2. Zeige, dass die Menge der -isometrischen Matrizen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bildet.
  3. Zeige, dass eine Permutationsmatrix -isometrisch ist.
  4. Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die jeweils ein oder ein -Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine -Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich ist.
  5. Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix -isometrisch ist.
  6. Zeige, dass jede -isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.
Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen