Matrizen/Konjugation/2/Invariantenring/Beispiel

In der Situation von Fakt ist bei $n=2$ das charakteristische Polynom der Matrix $\left(\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ X_{21}& X_{22}\end{array}\right)$ gleich

$T^2-(X_{11}+X_{12})T+X_{11}{X}_{22}-X_{12}{X}_{21}.$

Die Abbildung der Koeffizienten ist demnach

$p:{\mathrm{Mat}}_2(K)⟶{𝔸}_K^2,\left(\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ X_{21}& X_{22}\end{array}\right)⟼(X_{11}+X_{22},X_{11}{X}_{22}-X_{12}{X}_{21}).$

Die Diskriminante eines normierten Polynoms vom Grad zwei ist

${({\Lambda }_1-{\Lambda }_2)}^2={\Lambda }_1^2-{\Lambda }_2^2-2{\Lambda }_1{\Lambda }_2={({\Lambda }_1+{\Lambda }_2)}^2-2{\Lambda }_1{\Lambda }_2=E_1^2-4E_2$

mit den beiden elementarsymmetrischen Polynomen $E_1$ und $E_2$. Daher ist das Polynom in den vier Variablen, das angibt, ob es mehrfache Eigenwerte gibt oder nicht, gleich

${(X_{11}-X_{22})}^2-4(X_{11}{X}_{22}-X_{12}{X}_{21})=X_{11}^2+X_{22}^2-2X_{11}{X}_{22}+4X_{12}{X}_{21}.$