Matrizen/Konjugation/2/Invariantenring/Beispiel

In der Situation von Fakt ist bei ${}n=2$ das charakteristische Polynom der Matrix ${}{\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{pmatrix}}$ gleich

$T^{2}-{\left(X_{11}+X_{12}\right)}T+X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}.$

Die Abbildung der Koeffizienten ist demnach

$p\colon \operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{2}},\,{\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{pmatrix}}\longmapsto (X_{11}+X_{22},X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}).$

Die Diskriminante eines normierten Polynoms vom Grad zwei ist

${}{\left(\Lambda _{1}-\Lambda _{2}\right)}^{2}=\Lambda _{1}^{2}-\Lambda _{2}^{2}-2\Lambda _{1}\Lambda _{2}={\left(\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\right)}^{2}-2\Lambda _{1}\Lambda _{2}=E_{1}^{2}-4E_{2}\,$

mit den beiden elementarsymmetrischen Polynomen ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$. Daher ist das Polynom in den vier Variablen, das angibt, ob es mehrfache Eigenwerte gibt oder nicht, gleich

${}{\left(X_{11}-X_{22}\right)}^{2}-4{\left(X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}\right)}=X_{11}^{2}+X_{22}^{2}-2X_{11}X_{22}+4X_{12}X_{21}\,.$