Matrizen/Konjugation/Invariantenring/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ operiere auf ${}\operatorname {Mat} _{n}(K)$ durch Konjugation und damit auf dem Polynomring

$K[X_{ij},\,1\leq i,\,j\leq n].$

Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$-Matrix ${}M$ lässt sich als

${}\chi (M)=\det(TE_{n}-M)=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,$

schreiben, wobei die ${}a_{i}$ Polynome in den ${}n^{2}$ Koeffizienten der Matrix sind.

Mit diesen Bezeichnungen ist der Invariantenring gleich

${}K[X_{ij},\;1\leq i,j\leq n]^{\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}=K[a_{0},\ldots ,a_{n-1}]\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen