Matrizen/Konjugation/Invariantenring/Fakt/Beweis

Beweis

Die angegebenen Koeffizientenfunktionen des charakteristischen Polynoms liefern die Abbildung

$p\colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}.$

Da das charakteristische Polynom invariant unter der Konjugation ist, sind auch dessen Koeffizienten invariant und daher ist ${}p$ konjugationsinvariant.
Die Einbettung

$i\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,\left(\lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)\longmapsto {\begin{pmatrix}\lambda _{1}&&0\\&\ddots &\\0&&\lambda _{n}\end{pmatrix}},$

ist so, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&{\stackrel {\iota }{\longrightarrow }}&\operatorname {Mat} _{n}(K)&\\&\!\!\!\!\!q\searrow &\downarrow p\!\!\!\!\!&\\&&{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert, wobei ${}q$ der Quotient nach der symmetrischen Gruppe ist, also durch die (bis auf das Vorzeichen) elementarsymmetrischen Polynome beschrieben wird. Wir haben zu zeigen, dass ein ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$-invariantes Polynom durch ${}p$ faktorisiert, dass also die Abbildung ${}f$ im Diagramm

${\begin{matrix}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&{\stackrel {\iota }{\longrightarrow }}&\operatorname {Mat} _{n}(K)&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&{{\mathbb {A} }_{K}^{1}}\\&q\searrow &\downarrow p&\nearrow {\tilde {f}}&\\&&{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

durch ${}p$ mittels ${}{\tilde {f}}$ faktorisiert. Das ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$-invariante Polynom ${}f$ definiert dabei über ${}f\circ \iota$ ein Polynom auf den Eigenwerttupeln. Zwei Diagonalmatrizen mit den gleichen, aber permutierten Eigenwerten, sind zueinander konjugiert, und zwar werden sie durch eine geeignete Permutationsmatrix ineinander überführt. Daher ist das invariante Polynom auch invariant unter der Permutation von Eigenwerten, und damit faktorisiert es durch

$q\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}/S_{n}\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}.$

Es gibt also eine polynomiale Abbildung

${\tilde {f}}:{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}{\text{ mit }}f\circ \iota =q{\tilde {f}}.$

Wir haben nun ${}f=p{\tilde {f}}$ zu zeigen (eine Gleichheit von Polynomen). Das ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$-invariante Polynom ist (insbesondere) auf einer Konjugationsklasse konstant. Aus der linearen Algebra weiss man, dass jede trigonalisierbare Matrix konjugiert zu einer Matrix in Jordanscher Normalform, ist, d.h. zu einer Matrix der Form

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\varepsilon _{1}&0&\ldots &0\\0&\lambda _{2}&\varepsilon _{2}&\ldots &\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &\lambda _{n-2}&\varepsilon _{n-1}\\0&0&\ldots &\ldots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}$

mit ${}\varepsilon _{1}\in \{0,1\}$. Die ${}\lambda _{i}$ sind dabei die Eigenwerte der Matrix. Wenn alle Eigenwerte verschieden sind, so ist die Matrix diagonalisierbar und die ${}\varepsilon _{i}$ sind ${}0$.

Behauptung: Die Menge der Matrizen mit verschiedenen Eigenwerten bilden eine (Zariski)-offene Teilmenge in ${}\operatorname {Mat} _{n}(K)$, und zwar sieht man es den Koeffizienten des charakteristischen Polynoms an, ob es mehrfache Nullstellen besitzt oder nicht. Dazu ist folgendes zu beachten: Die abgeschlossene Menge

$\bigcup _{i\neq j}V(\Lambda _{i}-\Lambda _{j}),$

also die Vereinigung der „Teildiagonalen“, wird beschrieben durch das Polynom ${}\prod _{i\neq j}(\Lambda _{i}-\Lambda _{j})$. Dieses ist ein symmetrisches Polynom, das daher durch

$q\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

faktorisiert. Ein Polynom besitzt also genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn dieses Polynom davon verschwindet. Eine Matrix hat genau dann (algebraisch) mehrfache Eigenwerte, wenn die Diskriminante des charakteristischen Polynoms verschwindet. Damit bilden die Matrizen mit verschiedenen Eigenwerten eine Zariski-offenen Teilmenge und erst recht eine dichte offene Teilmenge in der komplexen Topologie. Auf dieser offenen (dichten) Teilmenge ist ${}f$ durch die Diagonalmatrizen festgelegt und daher sitmmen darauf ${}f$ und ${}p{\tilde {f}}$ überein. Also stimmen sie überhaupt überein.

Zur bewiesenen Aussage