Matrizen/Konjugation/Nilpotent/Fakt/Beweis

Beweis

„ ${}\Leftarrow$ “ Eine nilpotente Matrix ist konjugiert zu ${}{\begin{pmatrix}0&*&*\\&\ddots &*\\0&&0\end{pmatrix}}$. Daher ist das charakteristische Polynom gleich ${}T^{n}$ und die Koeffizienten sind null.

„${}\Rightarrow$ “ Die Matrix ist konjugiert zu ${}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&*&*\\&\ddots &*\\0&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}$, ihr charakteristisches Polynom ist

$(T-\lambda _{1})\cdots (T-\lambda _{n}),$

und dieses ist nach Voraussetzung gleich ${}T^{n}$. Also ist ${}\lambda _{i}=0$ und die Matrix ist nilpotent.

Zur bewiesenen Aussage