Matrizen/Konjugation/Nilpotent/Fakt/Beweis

Beweis

„ $\Leftarrow$ “ Eine nilpotente Matrix ist konjugiert zu $\left(\begin{array}{ccc}0& \ast & \ast \\ & \ddots & \ast \\ 0& & 0\end{array}\right)$. Daher ist das charakteristische Polynom gleich $T^n$ und die Koeffizienten sind null.

„ $\Rightarrow$ “ Die Matrix ist konjugiert zu $\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \ast & \ast \\ & \ddots & \ast \\ 0& & {\lambda }_n\end{array}\right)$, ihr charakteristisches Polynom ist

$(T-{\lambda }_1)\cdots (T-{\lambda }_n),$

und dieses ist nach Voraussetzung gleich $T^n$. Also ist ${\lambda }_i=0$ und die Matrix ist nilpotent.

Zur bewiesenen Aussage