Matrizen/R/Symmetrisch und antisymmetrisch/Dimension/Aufgabe/Lösung

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a) Die Nullmatrix ist symmetrisch und antisymmetrisch. Für zwei symmetrische Matrizen und und Skalare ist

offenbar wieder symmetrisch, daher liegt eine Untervektorraum vor.

b) Alle Diagonalmatrizen sind symmetrisch und die Diagonalmatrizen , für die der -te Diagonaleintrag eine ist und für die alle anderen Einträge sind, bilden eine Basis davon. Ferner sind für die Matrizen , für die

und alle übrigen Einträge sind, ebenfalls symmetrisch. Diese bilden eine Basis aller symmetrischen Matrizen, wie man sieht, wenn man von allen Matrizen die oberen Dreiecksausschnitte betrachtet. Die Dimension dieses Raumes ist somit

c) Für eine Linearkombination zweier antisymmetrischer Matrizen wie in a) ist der Eintrag gleich

und der Eintrag gleich

daher ergibt dies wieder antisymmetrische Matrizen.

d) Wegen

müssen die Diagonaleinträge von antisymmetrischen Matrizen gleich sein. Für legt der Eintrag den Eintrag fest. Für seien die antisymmetrischen Matrizen mit und , wobei alle übrigen Einträge gleich seien. Diese bilden eine Basis des Raumes aller antisymmetrischen Matrizen, dessen Dimension somit ist.

e) Es ist

f) Es sei eine sowohl symmetrische als auch antisymmetrische Matrix. Dann ist direkt

und daher ist

Es liegt also die Nullmatrix vor und somit ist

Wegen

ist die Summe der Dimensionen der beiden Unterräume gleich der Dimension des Matrizenraumes, daher liegt eine direkte Summenzerlegung

vor.