Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Gerade und Kreis/Beispiel

Wir gehen nun zum allgemeinen Fall über, wo der Koppelungsabstand ${}d$ nicht ${}1$ ist. Das mechanische System wird dann durch den Schnitt von zwei Zylindern mit unterschiedlichen Radien beschrieben. Aus den beiden Gleichungen kann man einfach ${}y_{2}$ eliminieren und erhält die Gleichung

${}x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}-x_{2}^{2}=d^{2}-1\,.$

Wir setzen ${}\alpha =d^{2}-1=\neq 0$ und ${}w=x_{2}-x_{1}$.

Für einen Punkt ${}P=P_{1}+u(P_{2}-P_{1})$ der Koppelungsstange sind die Koordinaten gleich

${}(z_{1},z_{2})=(x_{1}+u(x_{2}-x_{1}),uy_{2})\,.$

Wir wollen die Trajektorie zu diesem Punkt des mechanischen System berechnen. Bei ${}u=0$ ist das einfach die Gerade, sodass wir im Folgenden ${}u\neq 0$ annehmen. Wir ersetzen

$x_{2}={\frac {1}{u}}(x_{1}(u-1)+z_{1}){\text{ und }}y_{2}={\frac {1}{u}}z_{2}$

in der ersten und der eliminierten Gleichung und erhalten

1. ${}\left({\frac {x_{1}(u-1)+z_{1}}{u}}\right)^{2}+\left({\frac {z_{2}}{u}}\right)^{2}=1$
2. ${}x_{1}^{2}-{\frac {2}{u}}x_{1}(x_{1}(u-1)+z_{1})=d^{2}-1$

bzw.

1. ${}(u-1)^{2}x_{1}^{2}+2(u-1)z_{1}x_{1}+z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-u^{2}=0$
2. ${}(-u+2)x_{1}^{2}-2z_{1}x_{1}-ud^{2}+u=0\,.$

Es liegen also zwei quadratische Gleichungen für ${}x_{1}$ über ${}K[z_{1},z_{2}]$ vor. Mittels Fakt kann man daraus eine Gleichung für ${}z_{1}$ und ${}z_{2}$ errechnen, und zwar ergibt sich

$\left((-u+2)(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-u^{2})-(u-1)^{2}(-ud^{2}+u)\right)^{2}$

$-2(u-1)z_{1}[-(-u+2)(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-u^{2})(-2z_{1})-$

$(-ud^{2}+u)(-u+2)2(u-1)z_{1}+(u-1)^{2}(-2z_{1})(-ud^{2}+u)]$

$+(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-u^{2})\left((u-1)^{2}(-2z_{1})^{2}-2(-u+2)2(u-1)z_{1}(-2z_{1})\right)=0.$

Das ist eine eben algebraische Kurve vom Grad vier, eine ziemlich hässliche Gleichung.