Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/2/Aufgabe/Lösung

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Wir betrachten die Abbildungen

und

und behaupten, dass diese beiden Abbildungen zueinander invers sind. Die Verknüpfung sendet insgesamt eine Teilmenge auf

Die Inklusion

ist dabei klar. Wenn umgekehrt liegt, so ist aufgrund der Voraussetzung oder und damit ist auch . Daher ist die Identität.

Die Verknüpfung sendet insgesamt ein Paar bestehend aus Teilmengen und auf

Wir behaupten

(und entsprechend für die zweite Komponente). Dabei ist die Inklusion klar. Wenn umgekehrt ist, so ist und . Wegen und der Disjunktheit von und

kann nicht zu gehören, also ist . Daher ist auch die Identität.
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