Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/2/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildungen

$\varphi \colon {\mathfrak {P}}\,(G)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B),\,T\longmapsto (T\cap A,T\cap B),$

und

$\psi \colon {\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(G),\,(U,V)\longmapsto U\cup V,$

und behaupten, dass diese beiden Abbildungen zueinander invers sind. Die Verknüpfung ${}\psi \circ \varphi$ sendet insgesamt eine Teilmenge ${}T\subseteq G$ auf

$(T\cap A)\cup (T\cap B).$

Die Inklusion

${}(T\cap A)\cup (T\cap B)\subseteq T\,$

ist dabei klar. Wenn umgekehrt ${}x\in T$ liegt, so ist aufgrund der Voraussetzung ${}x\in A$ oder ${}x\in B$ und damit ist auch ${}x\in (T\cap A)\cup (T\cap B)$. Daher ist ${}\psi \circ \varphi$ die Identität.

Die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ sendet insgesamt ein Paar ${}(U,V)$ bestehend aus Teilmengen ${}U\subseteq A$ und ${}V\subseteq B$ auf

$((U\cup V)\cap A,(U\cup V)\cap B).$

Wir behaupten

${}(U\cup V)\cap A=U\,$

(und entsprechend für die zweite Komponente). Dabei ist die Inklusion ${}\supseteq$ klar. Wenn umgekehrt ${}x\in (U\cup V)\cap A$ ist, so ist ${}x\in A$ und ${}x\in U\cup V$. Wegen ${}V\subseteq B$ und der Disjunktheit von ${}B$ und ${}A$

kann nicht ${}x$ zu ${}V$ gehören, also ist ${}x\in U$. Daher ist auch ${}\varphi \circ \psi$ die Identität.

Zur gelösten Aufgabe