Menge/Potenzmenge/Halbring/Fakt/Beweis

Beweis

Die Eigenschaften sind allenfalls bis auf das Distributivgesetz klar. Letzteres besagt die Identität

${}A\cap (B\cup C)={\left(A\cap B\right)}\cup {\left(A\cap C\right)}\,.$

Wenn ein Element ${}x$ links dazugehört, so gehört es zu ${}A$ und es gehört zu ${}B\cup C$. Somit gehört es zu ${}B$ oder zu ${}C$ und damit auch zu ${}A\cap B$ oder zu ${}A\cap C$, also jedenfalls zur rechten Seite. Wenn es rechts dazu gehört, sagen wir zu ${}A\cap B$, was wir wegen der Symmetrie der Situation annehmen können, so gehört es erst recht zu ${}A\cap (B\cup C)$.

Zur bewiesenen Aussage