Menge/Potenzmenge/Sortenprädikate/Aufgabe/Lösung

Die Grundmenge ${}G$ der Interpretation ist stets die disjunkte Vereinigung ${}A\cup {\mathfrak {P}}\,(A)$. Wir führen folgende Symbole ein.

1. Wir wählen ein einstelliges Prädikat ${}M$ (für Menge), wobei für ${}m\in G$ die Beziehung ${}Mm$ genau dann gelten soll, wenn ${}m$ zu ${}{\mathfrak {P}}\,(A)$ gehört, also eine Teilmenge von ${}A$ ist.
2. Wir wählen ein zweistelliges Relationssymbol ${}E$, wobei für ${}m,n\in G$ die Beziehung ${}E(m,n)$ genau dann gelten soll, wenn ${}m$ ein Element von ${}A$ und ${}n$ eine Teilmenge von ${}A$ ist und ${}m\in n$ gilt.
3. Wir wählen eine Konstante ${}L$, die als leere Teilmenge zu interpretieren ist.
4. Wir wählen ein zweistelliges Relationssymbol ${}D$, wobei die Beziehung ${}D(m,n)$ genau dann gelten soll, wenn ${}m,n$ Teilmengen sind, die zueinander disjunkt sind.
5. Wir wählen ein zweistelliges Relationssymbol ${}T$ (Teilmenge), wobei die Beziehung ${}T(m,n)$ genau dann gelten soll, wenn ${}m,n$ Teilmengen sind und ${}m$ in ${}n$ enthalten ist.
6. Wir wählen zwei zweistellige Funktionssymbole ${}V$ und ${}I$, die bei der Mengeninterpretation bei Teilmengen als Vereinigung bzw. als Durchschnitt zu interpretieren sind (und bei Elementen irgendwie, beispielsweise als ${}L$, was aber keine inhaltliche Relevanz hat).

Mit folgenden Axiomen kann man die Eigenschaften charakterisieren.

1. $\forall x(Lx\leftrightarrow (Mx\wedge \forall y\neg (Eyx))).$

2. $\forall x\forall y(Mx\wedge My\rightarrow (D(x,y)\leftrightarrow \forall z(E(z,x)\rightarrow \neg E(z,y))).$

3. $\forall x\forall y(Mx\wedge My\rightarrow (T(x,y)\leftrightarrow (\forall z(E(z,x)\rightarrow E(z,y)))).$

4. $\forall x\forall y(Mx\wedge My\rightarrow (x=y\leftrightarrow (\forall z(E(z,x)\leftrightarrow E(z,y)))).$

5. $\forall x\forall y(Mx\wedge My\rightarrow (\forall z(E(z,D(x,y))\leftrightarrow E(z,x)\wedge E(z,y)))).$

6. $\forall x\forall y(Mx\wedge My\rightarrow (\forall z(E(z,V(x,y))\leftrightarrow E(z,x)\vee E(z,y)))).$

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