Menge/Relation/Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$, also ${}R\subseteq M\times M$.

Wenn ein Paar ${}(x,y)$ zu ${}R$ gehört, so sagt man auch, dass ${}x$ und ${}y$ in der Relation ${}R$ stehen. Statt ${}(x,y)\in R$ verwendet man häufig suggestivere Schreibweisen wie ${}xRy,\,x\sim y$ oder ${}x\leq y$. Dabei werden manche Symbole nur verwendet, wenn die Relation gewisse zusätzliche Eigenschaften erfüllt. Die wichtigsten Eigenschaften fasst die folgende Definition zusammen (die bei zwei verschiedenen Mengen keinen Sinn ergeben).

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}R\subseteq M\times M$ eine Relation auf ${}M$. Man nennt ${}R$

• reflexiv, wenn

${}(x,x)\in R$ gilt für alle ${}x\in M$.

• transitiv, wenn für beliebige

${}x,y,z\in M$ aus ${}(x,y)\in R$ und aus ${}(y,z)\in R$ stets ${}(x,z)\in R$ folgt.

• symmetrisch, wenn für beliebige

${}x,y\in M$ aus ${}(x,y)\in R$ auch ${}(y,x)\in R$ folgt.

• antisymmetrisch, wenn für beliebige

${}x,y\in M$ aus ${}(x,y)\in R$ und ${}(y,x)\in R$ die Gleichheit ${}x=y$ folgt.

Ein Pfeildiagramm ist eine Möglichkeit, eine Relation darzustellen.

Eine wichtige Darstellungsmöglichkeit für eine Relation auf einer Menge ist durch ein Pfeildiagramm gegeben, man spricht auch von einem gerichteten Graphen. Dabei werden die Elemente der Grundmenge ${}M$ als Punkte (Knoten) gezeichnet, und es wird genau dann ein Pfeil von Punkt ${}x$ zu Punkt ${}y$ gezeichnet, wenn ${}xRy$ gilt. Die Richtung des Pfeiles ist dabei wichtig. Wenn allerdings die Relation symmetrisch ist, so gibt es zu jedem Pfeil den entsprechenden Rückpfeil. Daher drückt man symmetrische Relationen direkt durch ungerichtete Pfeile (Kanten, Verbindungsstrecken) aus und spricht von ungerichteten Graphen.

Beispiel

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die Gewinnrelation in einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von ${}A$ über ${}B$ durch einen Pfeil von ${}A$ nach ${}B$ (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.