Mengen/Diagramm/Limes/Definition

Limes (Mengen)

Es sei ${}(I,\succcurlyeq )$ eine geordnete Menge und es sei ${}M_{i}$, ${}i\in I$, ein Diagramm in der Kategorie der Mengen, d.h. zu jedem  ${}i\in I$  sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben und zu jedem Paar  ${}i\succcurlyeq j$  sei eine Abbildung ${}\varphi _{ij}\colon M_{i}\rightarrow M_{j}$ gegeben, wobei  ${}\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$  zu  ${}i\succcurlyeq j\succcurlyeq k$  gelte. Eine Menge ${}M$ zusammen mit Abbildungen ${}p_{i}\colon M\rightarrow M_{i}$ heißt Limes (oder projektiver Limes) der ${}M_{i}$, wenn  ${}p_{j}=\varphi _{ij}\circ p_{i}$  gilt und wenn es zu jeder anderen Menge ${}(N,q_{i})$ mit dieser Eigenschaft eine eindeutige Abbildung ${}\psi \colon N\rightarrow M$ mit  ${}p_{i}\circ \psi =q_{i}$  gibt. Er wird mit ${}\varprojlim _{i\in I}M_{i}$ bezeichnet.