Mengenalgebra/Topologie/Endliche Vereinigungen/Aufgabe/Lösung

Zu der von der Topologie erzeugten Mengenalgebra ${}{\mathcal {A}}$ müssen alle offenen Teilmengen und somit, da eine Mengenalgebra auch unter Komplementen abgeschlossen ist, auch alle abgeschlossenen Teilmengen gehören. Da eine Mengenalgebra mit zwei Teilmengen auch deren Durchschnitt und deren Vereinigung enthält, gehören die angegebenen Mengen zu ${}{\mathcal {A}}$.

Zur Umkehrung müssen wir zeigen, dass das angegebene Mengensystem eine Mengenalgebra ist, die alle offenen Mengen enthält. Eine offene Menge ${}U$ kann man als ${}U\cap X$ schreiben und ist daher von der angegebenen Form, da ${}X$ selbst abgeschlossen ist. Insbesondere ist der Gesamtraum ${}X$ von der angegebenen Form. Es sei eine Menge

$(U_{1}\cap A_{1})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n})$

gegeben. Ihr Komplement ist

${}{\begin{aligned}X\setminus ((U_{1}\cap A_{1})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n}))&=(X\setminus (U_{1}\cap A_{1}))\cap \ldots \cap (X\setminus (U_{n}\cap A_{n}))\\&=((X\setminus U_{1})\cup (X\setminus A_{1}))\cap \ldots \cap ((X\setminus U_{n})\cup (X\setminus A_{n}))\\&=\bigcup _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(\bigcap _{i\in I}(X\setminus U_{i})\cap \bigcap _{j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus I}(X\setminus A_{j})).\,\end{aligned}}$

Hierbei sind die ${}\bigcap _{i\in I}(X\setminus U_{i})$ jeweils abgeschlossen und die ${}\bigcap _{j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus I}(X\setminus A_{j})$ jeweils offen, sodass eine Menge in der gewünschten Form vorliegt.

Die Vereinigung von zwei Mengen in der angegebenen Form ist offensichtlich wieder von dieser Form.

Zur gelösten Aufgabe